About this video
Sal introduces the line integral around a closed curve of F dot n ds, where F = P(x,y) i + Q(x,y) j and n is the unit normal to the curve. He explains what F dot n means at a single point on the curve, then uses Green's theorem to show the integral equals the double integral over the region of the divergence of F, which is the 2D version of the divergence theorem.
You'll be able to
- describe a 2D vector field F = P i + Q j and the unit normal n on a closed curve.
- explain that F dot n measures the part of F pointing straight out across the curve.
- state the 2D divergence theorem: the integral of F dot n ds around C equals the double integral of (dP/dx + dQ/dy) dA.
Key words
- vector field
- A rule that attaches a vector to every point (x, y), here F = P(x,y) i + Q(x,y) j.
- unit normal vector (n)
- A length-1 vector at a point on the curve, perpendicular to it and pointing outward.
- Green's theorem
- Turns a line integral around a closed curve into a double integral over the region inside.
- divergence
- dP/dx + dQ/dy: how much the field spreads out from a point.
Transcript
Sada kada znamo malo o tome kako napraviti vektor na bilo kojoj tacki na grafiku -- to smo radili u prosloj lekciji-- Zelim poceti sa istrazivanjem zanimljivih izraza Izraz glasi : Integral je oko zatvorene petlje i mi cemo ici u pozitivnom skalaru. Orijentacija okretanja kazaljke na satu vektora oznacenim sa "F" sa normalnim vektorom na bilo kojoj tacki petlje ds (Napisacu ds u ljubicastoj boji) ds.
Prvo cemo da damo koncept onoga o cemu se prica i onda cemo to obradjivati da vidimo da li mozemo da se nosimo s time a interesantno je to da cemo ipak to obradjivati Koristicemo greenovu teoremu i zapravo cemo radit isa 2 dimenzije verzija teoreme divergencije sto zvuci veoma komplikovano ali na svu srecu cemo mi to uprostiti za one koji zapravi shvataju bar malo gradiva Prvo da razmislimo o ovome.
Nacrtajmo pravougaonik uradicemo to belom bojojm tacno je ovde gde je nasa y osa a ovde je nasa x osa sada mi dozvolite da nam nacrtam liniju koja ce izgledati ovako nekako -- Nacrtacu je plavom bojom Tako da ce moja kriva izgldati ovako i ona ide u pozitivnom smeru kretanja kazaljki na satu bas ovako sada kada imamo nas vekttor, i samo da potsetim videli smo ovo vise puta Ovom vektoroskom polju moze da bude dodeljen bilo koji vektor u delu x-y i bice -- moze biti definisana kao funkcija od x i y, koju cu ja nazvati sa "P" neke funkcije od x i y ...
i onda j komponenta, ili ono sa cime smo pomnozili komponenty j ili vertikalna komponenta za bilo koju tacku x y tako da neke funkcije x y plus neke ostale skalarne funckije x i y j tako da ako mi date bilo koju tacku za nju ce postojati vektor za svaku tacku je pripisan vektor koji joj pripada tako mi definisemo ovu funkciju ali izraz je zapravo sto mi pricamo o integralu linije mi brinime posebno za tacke na ovoj krivoj oko ove konture tacno ovde tako da najbolje je da razmislimo sta je zapravo ovaj deo i sta nam on govori pre nego sto saberemo sve ove delove tako da ako uzmemo u obzir samo tacku f razmislimo samo o tacki na ovoj krivoj tako da tacka na ovoj krivoj moze da bude bas ovde pripojena sa tom tackom postoji vektor
to je sta polje vektora radi tako da f moze da izgleda ovako ... i mi cemo da ga obelezimo sa tackom normalnog vektora u toj tacki tako da normalan vektor treba da izgleda tako to bi trebalo da bude n tacka ovo je vektor u toj tacki
Video © Khan Academy, used under CC BY-NC-SA. Watch on Khan Academy. Puzzicle is not affiliated with Khan Academy.